Ant yon antye n ki pi gran ke 1 e doub antye sila a, toujou gen yon nonm premye.
se yon teyorèm ki te konjektire pa Bertrand e ki demontre an 1850 pou lapremyè fwa pa matematisyen ris Tchebycheff
Gen plizyè varyant pou demontre teyorèm oubyen postila a. Men de ladan yo ki privilejye apwòch elemantè.
Premyè demach la ap mennen nou redemontre tankou yon lèm ke
pou tout n ki siperyè ou egal ak 2 avèk
Nou pale de redemontre paske se yon demonstrasyon ki te la deja ....
An nou konsidere pwodui tout antye enpè yo divize pa pwodui tout antye pè yo ki enferyè oubyen egal ak 2n
Konfòmeman ak Arnel Mercier ak Jean Marie de Koninck an desiye pwodui sa pa P
An nou fè parèt anlè ya pwodui ki anba a
An nou konsidere
si nou devlope pwodui nap genyen
chak faktè yo estrikteman pozitif epi yo enferyè ak 1 , kidonk pwodui li menm tou enferyè ak 1.
sa ki bay
lè nou diseke nimeratè yo ak denominatè yo :
kidonk
Nou te wè ke
Fonksyon rasin kare kwasan, nou genyen :
Inegalite dwat la demontre
li pa fè answa apèl a oken nosyon nonm premye jiska prezan sinon ke faktoryèl la se nosyon de predileksyon nonm premye
Kounye an nou redemontre dezyèm pati inegalite, inegalite gòch la.
An nou konsidere pwodui sa :
chak faktè yo pozitif e enferyè ak 1, kidonk pwodui ya globalman enferyè ak 1.
sa ki bay
nou genyen
Inegalite goch la demontre
kidonk lè nou konbine inegalite goch la ak inegalite dwat la nou gen premye lèm
An nou demontre yon dezyèm pwopozisyon sa ki va sèvi kòm lèm
An soulye ke fonksyon Tchebychèf la defini konsa
avèk ...
Nan kad sa a nou sipoze ke n
Inegalite a verifye pou n = 1 ak n = 2 .
An nou sipoze li vrè pou yon sèten
kounye a an nou konsidere
pou tou n siperyè ak 1, ekspresyon sa gen yon reyalite konkrè e se yon antye : se pa egzanp kantite souzansanm de n-1 eleman diferan ke nou ka
fòme a pati de yon ansanm de 2n-1 eleman.
An nou gade byen nimeratè a ak denominatè a
Tout nonm antye non nil ki enferyè ak 2n-1 se yon divizè de nimeratè a , an patikilye tout nonm premye ki enferyè ou egal ak 2n-1 se yon divizè nimeratè a .
Menm konsiderasyon an ka fèt pou denominatè a jiska n .
An nou konsidere nonm premye p ki siperyè ak n e ki enferyè oubyen egal ak 2n-1.
kidonk yon faktè premye p ki tèl ke
pa senplifye.
se donk miltipl non nil chak nonm premye tèl ke .
Se donk yon miltipl non nil pwodui tout nonm premye sila yo.
siperyè oubyen egal ak pwodui nonm sa yo
Fonksyon Ln lan kwasant, nou genyen
tout fonksyon logaritm transforme pwodui an sòm logaritm
An nou konsidere inegalite dwat premye lèn lan oubyen dezyèm inegalite premye lèm lan
nou kapab ekri li
An nou pran logaritm Neperyen de manm yon.
Kòm se yon fonksyon kwasant, nap genyen
An nou konbine
An nou pa bliye ke nou vle demontre kòm dezyèm lèm
An nou konsidere kòm Ipotèz e an montre ke li vre pou 2n - 1 ak 2n pou tout n > 2
....
kòm
si nou gen alò
kidonk
pou tout
si lèm lan vre pou n li vre pou 2n - 1
an nou pwouve rapidman ke inegalite vre pou 2n tou.
si inegalite a vre pou
li vre alafwa pou 2n - 1 ak 2n .
An nou montre kounye a si fòmil la vrè pou entèval
alò li vrè pou entèval
Avan nou montre sa an nou verifye ke ingalite a vrè pou entèval
Inegalite a vrè pou n = 2 selon enplikasyon avan an li vrè pou ki donk li vre e pou 3 e pou 4.
Pwopriyete a vrè pou oubyen ankò li vrè pou
Pwopriyete a vrè pou
Ipotèz rekirans
An nou konsidere ke inegalite sou tout entèval la e an nou montre ke li vrè pou tout entèval
la tou .
An nou pran yon antye m kèlkon sou entèval
sa vle di
Nan de bagay ki ekskli yo youn lòt, nou gen youn fòseman.
m se yon nonm pè ou m se yon nonm enpè
1)
m pè
ò pa ipotèz rekirans, inegalite a vrè pou tout n ki nan entèval presedan an. Inegalite a vrè pou
Kidonk selon premyè dediksyon an li vrè pou . Li vre donk pou tout m pè ki nan entèval
2)
m enpè
selon ipotèz rekirans
inegalite a vrè pou tout n ki nan entèval presedan an. Inegalite a vrè pou
Kidonk selon premyè dediksyon an li vrè pou . Li vrè donk pou tout m enpè ki nan entèval
An fendkont pwopriyete a vrè pou tout
Si nou gen yon nonm premye fiks, pi gwo ekspozan k tèl ke alò
An nou demontre sa pa rekirans
fòmil la vrè pou
an sipoze fòmil la bon pou epi an nou montre li bon pou
swa
selon ipotèz rekirans lan
ò
ak
enplike
Sa ki enplike
kidonk si fòmil la vrè pou li vrè pou kidonk li vrè pou tout antye n ki pa egal ak zero.
An nou montre an premye lye ke
pou chak sa ki va pwouve ekzistans de yon nonm premye pou pi piti nan entèval pou chak
An nou konsidere yon lòt fwa nonm
Oken nonm premye ki siperyè ak 2n pa yon divizè de N .
Tandiske tout nonm premye ki konpri ant n ekstrikteman ak 2n lajman divize N yon sèl fwa.
An nou konsidere n ak 2n pou nou wè kisa ki rive.
si n premye, li parèt de fwa anlè a sou fòm n ak
menm jan an li parèt 2 fwa anba a sèlman. Kidonk, n pa yon faktè de N.
Pou 2n , si 2n pa yon nonm premye.
Nan entèval oubyen ankò tout nonm premye se divizè N yon sèl fwa, paske nonm premye sa a prezante yon sèl fwa nan nimeratè a e li pa prezante nan denominatè a,
De tout fason nou ap gen pou nou retounen sou konsiderasyon sa a.
Si nou konsidere teyorèm Legendre lan nou kapab ekri :
An nou konsidere
Pwodui sa vo 1 paske ekspozan toujou vo 0.
pou tout antye n > 1 , 2n pa premye kidon
pou tout
kidonk
pou tout
Nou ka ekri
An nou pran logarithm Neperyen de manm egalite ya.
An nou diseke sòm sa an 4 tèrm .
pou premye tèm lan nou genyen :
....
kidonk
sou yon lòt ang
nou genyen sou baz ipotèz la
pou tout
An nou konsidere dezyèm sòm lan
sou yon lòt ang ,
si p = 2
nap genyen lè sa a :
kidonk tou nou tap genyen
si
An nou gade ki sa nou ap genyen
kidonk
pou e
kidonk pou tout
An nou konsidere twazyèm sòm lan
An konsidere nan ki kondisyon inegalite ki anba somasyon ak gen sans :
An nou endike dabò ke toujou egal oubyen ak zero oubyen ak 1 .
anfèt pou tout reyèl x nou genyen
egal oubyen a 0 oubyen ak 1 .
egal swa zero soit 1 .
vo 0 oubyen 1 si
An nou montre ke li vo 0 nan tout lòt ka .
ò
oubyen egal ak 1 oubyen egal ak 0
Kidonk
Pou tout
An nou konsidere katryèm sòm lan
An nou raple ke swa egal ak 0 swa egal ak 1 .
yon lòt kote
An nou gade apati de kilè toujou vo zero pou yon p fikse
, etandone ke i se yon antye natirèl ki pa egal ak 0 .
sou ipotèz
An nou raple ke
lè nou anvizaje tout estimasyon yo oswa tout estime yo nou kapab ekri :
pou tout
Li rete pou nou pwouve ke estriteman pozitif .
Nou te genyen
Anplis lè , nou genyen
yon lòt kote, , etandone ke tout nonm pè pi gran ke 2 pa premye ou di mwens pa konpoze.
Nou vin genyen :
Li rete pou nou pwouve ke manm dwat la pi gran ke zero e konsa ant n ak 2n nap va asire ke gen o mwen yon nonm premye .
An nou pwouve ekivalans lan
An nou deziye pa
An nou montre ke li pozitif pou tout
An etann fonksyon an sou tout
an nou pwouve ke
an nou pwouve tou ke pou tout
kidonk fonksyon f la estriteman kwasant
oubyen
si nou miltiplye pa
sou ipotèz an nou pwouve ke
yon lòt kote nou genyen
non genyen tou :
donk
3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61
an sipoze majorasyon an vrè pou e an montre ke li vrè pou n+1
kidonk nan entèval \left[1, 2^n\right] gen o mwen n nonm premye selon ipotèz rekirans lan .
selon ipotèz Bètran an egziste pou pi piti yon nonm premye nan entèval
nou kapab di tou ke nan entèval
gen pou piti yon nonm premye
gen pou pi piti n+1 nonm premye nan entèval
Anfendkont si majorasyon an vrè pou n, li vrè pou n + 1 .
.....
sa nou rele
se k yèm nonm premye ki siperyè oubyen egal ak n .
Avèk , sipoze fikse an nou montre ke majorasyon an vre pou .
Anvan nou fè sipozisyon an , an nou verifye ke majorasyon vre pou k = 1
paske nan entèval li egziste pou pi piti yon nonm premye selon postila Bètran .
Anfèt si n premye,
si n pa premye
kidonk
Postila Bètran avèk de twa fòmil matematisyen Ayisyen Lainé Jean Lhermite Junior konsènan nonm premye
[modifye | modifye kòd]
Ekspresyon nonm premye ran n selon modèl flèch Jonatan anakò avèk postila Bètran an
[modifye | modifye kòd]