Postila Bètran

Depi Wikipedya, ansiklopedi lib
Ale nan: Navigasyon, Fouye

Postila Bètran[edite | modifye sous]

ant yon antye n ki pi gran ke 1 e doub antye sila a , toujou gen yon nonm premye. se yon teyorèm ki te konjektire pa Bertrand e ki demontre an 1850 pou lapremyè fwa pa matematisyen rus Tchebycheff Gen plizyè varyant pou demontre teyorèm oubyen postila a . Men de ladan yo ki privilejye apròch elemantè.

premye demonstrasyon[edite | modifye sous]

premye lèm[edite | modifye sous]

premye demach la ap kondwi nou redemontre tankou yon lèm ke

pou tout n ki siperyè ou egal ak 2 avèk

Nou pale de redemontre paske se yon demonstrasyon ki te la deja ....

An nou konsidere pwodwi tout antye empè yo divize pa pwodwi tout antye pè yo ki enferyè oubyen egal ak 2n

Konfòméman ak Arnel Mercier ak Jean Marie de Koninck an desiye pwodwi sa pa P

An nou fè parèt anlè ya pwodwi ki anba a










An nou konsidere




si nou devlope prodwi nap genyen


chak faktè yo estrikteman pozitif epi yo enferyè ak 1 , kidonk pwodwi li menm tou enferyè ak 1.



sa ki bay

lè nou diseke numeratè yo ak denominatè yo :







kidonk

Nou te wè ke



Fonksyon rasin kare kwasan, nou genyen :


Inegalite dwat la demontre

li pa fè answa apèl a oken nosyon nonm premye jiska prezan sinon ke factoryèl la se nosyon de predileksyon nonm premye


Kounye an nou redemontre dezyèm pati inegalite , inegalite goch la.

An nou konsidere pwodwi sa :

chak faktè yo pozitif e enferyè ak 1, kidonk pwodwi ya globalman enferyè ak 1 .







sa ki bay







nou genyen







Inegalite goch la demontre

kidonk lè nou konbine inegalite goch la ak inegalite dwat la nou gen premye lèm


dezyèm lèm[edite | modifye sous]

An nou demontre yon dezyèm pwopozisyon sa ki va sèvi kòm lèm

An soulye ke fonksyon Tchebychèf la defini konsa

avèk ...

Nan kad sa a nou sipoze ke n


Inegalite a verifye pou n = 1 ak n = 2 .

An nou sipoze li vrè pou yon sèten


kounye a an nou konsidere



pou tou n siperyè ak 1, ekspresyon sa gen yon reyalite konkrè e se yon antye : se pa egzanp kantite souzansanm de n-1 eleman diferan ke nou ka fòme a pati de yon ansanm de 2n-1 eleman.

An nou gade byen nimeratè a ak denominatè a


Tout nonm antye non nil ki enferyè ak 2n-1 se yon divizè de nimeratè a , an patikilye tout nonm premye ki enferyè ou egal ak 2n-1 se yon divizè nimeratè a .

Menm konsiderasyon an ka fèt pou denominatè a jiska n .

An nou konsidere nonm premye p ki siperyè ak n e ki enferyè oubyen egal ak 2n-1.



kidonk yon faktè premye p ki tèl ke pa senplifye .


se donk miltipl non nil chak nonm premye tèl ke . Se donk yon miltipl non nil pwodwi tout nonm premye sila yo .

siperyè oubyen egal ak pwodwi nonm sa yo



Fonksyon Ln lan kwasant, nou genyen



tout fonksyon logaritm transforme prodwi an sòm logaritm









An nou konsidere inegalite dwat premye lèn lan oubyen dezyèm inegalite premye lèm lan

nou kapab ekri li 


An nou pran logaritm Neperyen de manm yon.

Kòm se yon fonksyon kwasant, nap genyen




An nou konbine








An nou pa bliye ke nou vle demontre kòm dezyèm lèm


An nou konsidere kòm Ipotèz e an montre ke li vre pou 2n - 1 ak 2n pou tout n > 2


....

kòm






si nou gen alò



kidonk



pou tout

si lèm lan vre pou n li vre pou 2n - 1

an nou pwouve rapidman ke inegalite vre pou 2n tou .

si inegalite a vre pou li vre alafwa pou 2n - 1 ak 2n .

An nou montre kounye a si fòmil la vrè pou entèval alò li vrè pou entèval

Avan nou montre sa an nou verifye ke ingalite a vrè pou entèval

Inegalite a vre pou n = 2 selon enplikasyon avan an li vre pou ki donk li vre e pou 3 e pou 4. Pwopriyete a vre pou oubyen ankò li vre pou Pwopriyete a vre pou


Ipotèz rekirans

An nou konsidere ke inegalite sou tout entèval la e an nou montre ke li vre pou tout entèval

la tou .

An nou pran yon antye m kèlkon sou entèval

sa vle di


Nan de bagay ki ekskli yo youn lòt , nou gen youn fòseman .

m se yon nonm pè ou m se yon nonm enpè

1)

m pè 


ò pa ipotèz rekirans , inegalite a vre pou tout n ki nan entèval presedan an . Inegalite a vre pou Kidonk selon premye dediksyon an li vre pou . Li vre donk pou tout m pè ki nan entèval

2)

m enpè


selon ipotèz rekirans

inegalite a vre pou tout n ki nan entèval presedan an . Inegalite a vre pou  

Kidonk selon premye dediksyon an li vre pou . Li vre donk pou tout m enpè ki nan entèval



An fendkont pwopriyete a vre pou tout



Teyorèm Legendre[edite | modifye sous]

Si nou gen yon nonm premye fiks, pi gwo ekspozan k tèl ke alò

An nou demontre sa pa rekirans

fòmil la vre pou

an sipoze fòmil la bon pou epi an nou montre li bon pou


swa









selon ipotèz rekirans lan

ò

ak

enplike

Sa ki enplike


kidonk si fòmil la vre pou li vre pou kidonk li vre pou tout antye n ki pa egal ak zero.


premye demonstrasyon an answa[edite | modifye sous]

An nou montre an premye lye ke

pou chak sa ki va pwouve ekzistans de yon nonm premye pou pi piti nan entèval pou chak

An nou konsidere yon lòt fwa nonm

Oken nonm premye ki siperyè ak 2n pa yon divizè de N .

Tandiske tout nonm premye ki konpri ant n ekstrikteman ak 2n lajman divize N yon sèl fwa .

An nou konsidere n ak 2n pou nou wè kisa ki rive .

si n premye, li parèt de fwa anlè a sou fòm n ak

menm jan an li parèt 2 fwa anba a sèlman. Kidonk, n pa yon faktè de N .

Pou 2n , si 2n pa yon nonm premye.

Nan entèval oubyen ankò tout nonm premye se divizè N yon sèl fwa, paske nonm premye sa a prezante yon sèl fwa nan nimeratè a e li pa prezante nan denominatè a ,

De tout fason nou ap gen pou nou retounen sou konsiderasyon sa a .

Si nou konsidere teyorèm Legendre lan nou kapab ekri :

An nou konsidere

Pwodwi sa vo 1 paske ekspozan toujou vo 0 .

pou tout antye n > 1 , 2n pa premye kidon

pou tout

kidonk pou tout


Nou ka ekri





An nou pran logarithm Neperyen de manmb egalite ya .



An nou diseke sòm sa an 4 tèrm .


pou premye tèrm lan nou genyen :

....

kidonk





sou yon lòt ang


nou genyen sou baz ipotèz la

pou tout





An nou konsidere dezyèm sòm lan




sou yon lòt ang ,






si p = 2

nap genyen lè sa a :


kidonk tou nou tap genyen


si 

An nou gade ki sa nou ap genyen

kidonk


pou e




kidonk pou tout



An nou konsidere twazyèm sòm lan


An konsidere nan ki kondisyon inegalite ki anba somasyon ak gen sans :




An nou endike dabò ke toujou egal oubyen ak zero oubyen ak 1 .


anfèt pou tout reyèl x nou genyen

egal oubyen a 0 oubyen ak 1 .


egal swa zero soit 1 .


vo 0 oubyen 1 si

An nou montre ke li vo 0 nan tout lòt ka .


ò

oubyen egal ak 1 oubyen egal ak 0

Kidonk






Pou tout



An nou konsidere katryèm sòm lan






An nou raple ke swa egal ak 0 swa egal ak 1 .

yon lòt kote


An nou gade apati de kilè toujou vo zero pou yon p fikse


, etandone ke i se yon antye natirèl ki pa egal ak 0 .



sou ipotèz





An nou raple ke


lè nou anvizaje tout estimasyon yo oswa tout estime yo nou kapab ekri :

pou tout





Li rete pou nou pwouve ke estriteman pozitif .

Nou te genyen


Anplis lè , nou genyen


yon lòt kote, , etandone ke tout nonm pè pi gran ke 2 pa premye ou di mwens pa konpoze .

Nou vin genyen :









Li rete pou nou pwouve ke manm dwat la pi gran ke zero e konsa ant n ak 2n nap va asire ke gen o mwen yon nonm premye .



An nou pwouve ekivalans lan


 




An nou deziye pa

An nou montre ke li pozitif pou tout


An etann fonksyon an sou tout


an nou pwouve ke



an nou pwouve tou ke pou tout


kidonk fonksyon f la estriteman kwasant




oubyen






si nou miltiplye pa



sou ipotèz an nou pwouve ke


yon lòt kote nou genyen

non genyen tou :


donk


list nonm premye superyè ou egal ak 3 epi ki enferyè ak 64[edite | modifye sous]

3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61

dezyèm demonstrasyon[edite | modifye sous]

Majorasyon apati postila Bètran[edite | modifye sous]



an sipoze majorasyon an vrè pou e an montre ke li vrè pou n+1

kidonk nan entèval \left[1, 2^n\right] gen o mwen n nonm premye selon ipotèz rekirans lan .


selon ipotèz Bètran an egziste pou pi piti yon nonm premye nan entèval


nou kapab di tou ke nan entèval gen pou piti yon nonm premye



gen pou pi piti n+1 nonm premye nan entèval


Anfendkont si majorasyon an vrè pou n, li vrè pou n + 1 .


.....



sa nou rele se k yèm nonm premye ki siperyè oubyen egal ak n .


Avèk , sipoze fikse an nou montre ke majorasyon an vre pou .

Anvan nou fè sipozisyon an , an nou verifye ke majorasyon vre pou k = 1


 paske nan entèval   li egziste pou pi piti yon nonm premye selon postila Bètran  .

Anfèt si n premye,

si n pa premye


kidonk

Postila Bètran avèk de twa fòmil matematisyen Ayisyen Lainé Jean Lhermite Junior konsènan nonm premye[edite | modifye sous]

Ekspresyon nonm premye ran n selon modèl flèch Jonatan anakò avèk postila Bètran an[edite | modifye sous]

K yèm nonm premye ki siperyè oubyen egal ak n[edite | modifye sous]

premye apròch[edite | modifye sous]

Demonstrasyon...[edite | modifye sous]

nan de evenman kontrè nou gen fòseman youn . Nou kapab di ke oubyen :

oubyen

De presizyon dabò

nou gen asirans ke egziste e nou gen asirans tou ke egziste yon i nan entèval ... kote akoz majorasyon an .

dezyèm apròch[edite | modifye sous]

twazyèm apròch[edite | modifye sous]

wè tou[edite | modifye sous]

Referans[edite | modifye sous]

.....