Topoloji

Depi Wikipedya, ansiklopedi lib
Aller à la navigation Aller à la recherche
Deformation kontinyèl nan yon tas ak yon manch, nan yon torus (bouwe).
Yon riban Möbius se yon sifas ki fèmen ki gen bò redwi a yon sèk. Objè sa yo se sijè etidye pa topoloji.

Topoloji se branch matematik ki etidye pwopriyete objè jewometrik prezève pa defòmasyon kontini san chire oswa re-kole, tankou yon bann elastik ki ka lonje san kraze li. Pou egzanp, nou idantifye sèk la ak elips la, kouwòn lan ak miray la bò nan yon silenn revolisyon, yon tas ak yon tò (al gade animasyon) ; sa vle di, yo respektivman omeyomòf .

Nan topoloji, nou etidye espas topolojik : sa yo se ansanm bay ak yon nosyon de vwazinaj alantou chak pwen. Aplikasyon kontini ant espas sa yo prezève nosyon sa a. Definisyon vwazinaj la pafwa pwovoke pa yon distans ant pwen yo, ki bay yon estrikti espas metrik. Sa a se ka a an patikilye pou dwat reyèl la, plan, espas tridimansyonèl oswa pi jeneralman yon espas eklidyen, ak sou-ansanm yo tankou sèk la, esfè a, tò la ak lòt varyete Riemanyèn yo .

Nan yon espas topolojik, nosyon lokal vwazinaj la ka ranplase pa nosyon global ouvè, ki se yon vwazinaj nan chak pwen li yo. Ansanm ouvè rele tou " topoloji ". Topoloji sa a ka konpatib ak yon estrikti aljebrik, kidonk definisyon gwoup topolojik ak espas vektoryèl topolojik, an patikilye nan analiz fonksyonèl .

Topoloji jeneral defini nosyon ak konstriksyon abityèl yo nan espas topolojik. Topoloji aljebrik asosye avèk chak espas topolojik envaryan aljebrik aljèb tankou nonm gwoup, modil oswa ano ki pèmèt yo distenge, an patikilye nan kad teyori ne . Topoloji diferansyèl se restriksyon nan etid la nan varyete diferansyèl, kote chak pwen admèt yon vwazinaj omeyomòf nan yon boul nan dimansyon fini.

Etimoloji[edite | modifye sous]

Mo " topoloji "(an grèk ἡ τοπολογία ) soti nan asosyasyon de non grèk ὁ τόπος ( ho topos, maskilen) ak ἡ λογία (hē logia, feminen) ki respektivman vle di " lye a "ak" etid ". Mo pou mo, topoloji vle di " etid yon lye ou "etid topik" . Li defini ki sa yon lye se (yo rele tou " espas ») ak sa ki ka pwopriyete li yo. Yon ansyèn denominasyon te analiz situs, sa vle di " etid lye a ".

An 1847 Johann Benedict Listing te prezante tèm " topoloji » an alman nan Vorstudien zur Topologie.

Istwa[edite | modifye sous]

Topoloji baze sou nosyon limit ak kontinyite, ki aplike an premye nan swit ak fonksyon reyèl yon varyab reyèl. Nosyon sa yo analiz te itilize depi 18yèm syèk la espesyalman pa Euler ak Lagrange, men yo pral fòmalize sèlman nan 19yèm syèk la : Cauchy defini konvèjans lan nan yon swit oswa yon seri, Abel mete aksan sou konvèjans inifòm lan, ak Bolzano eksplike kontinyite a pwouve teyorèm valè entèmedyè .

An menm tan an, Riemann prezante varyete yo ki ta pote non li, epi ki te vin espas etid nan pwòp dwa yo nan kad topoloji diferansyèl . Tretman komen nan espas sa yo ak analiz reyèl la ap soti nan definisyon vwazinaj pa Hilbert .

Anviwon 1860, Weierstrass defini nosyon de pwen akimilasyon, nan ki li te demontre egzistans lan nan nenpòt ansanm enfini ak bòne nan nonm reyèl.

Henri Poincaré pibliye Analiz Situs an 1895 ak entwodwi konsèp yo nan omotopi ak omoloji . Envaryan sa yo rantre nan kantite anlasman ak karakteristik Euler (defini plis pase yon syèk anvan) nan sa ki pral vin topoloji aljebrik la .

Sèlman an 1906, pa fòs nan etidye ansanm pi plis ak plis abstrè, ki konsèp espas metrik parèt, prezante pa Fréchet, ki moun ki inifye travay la sou espas fonksyon nan Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli ak lòt moun.

An 1914, Felix Hausdorff jeneralize nosyon espas metrik la ; li envante tèm " espas topolojik" epi defini sa ki relekounye a yon espas separe oswa espas Hausdorff.

Finalman, yon lòt jeneralizasyon ti tay an 1922, pa Kuratowski, te bay konsèp aktyèl la nan espas topolojik.

Devlopman nan espas vektoryèl nòme (an patikilye nan dimansyon enfini) se premye a tout akòz Hilbert ; Banach lajman ranpli teyori sa a nan ane 1930 yo.

Nosyon yon ansanm konpak, ki te kòmanse an 1900, te devlope ak travay Alexandroff, Urysohn ak Tychonov.[1]

Okenn nan venntwa (23) pwoblèm Hilbert yo te fè fas ak topoloji, toujou jèmen nan kòmansman 20yèm syèk la. Konjekti Poincaré te onore nan mitan sèt (7) pwoblèm yo nan pri Milenè a nan lane 2000. Pwoblèm sa a pral premye ki dwe konplètman demontre pa Perelman nan kòmansman 21yèm syèk la avèk konjekti jeyometrizasyonz Thurston la.

Prensip fondatè[edite | modifye sous]

Konsèp santral la nan topoloji se nosyon de limit . Pran egzanp yon sifas ki fèmen, yon disk. Gen pwen yo ki nan disk la ak ki pa ladan li. Sepandan, pwen de vi sa a pa satisfezan nan jewometri. Pwen yo ki sou sèk la delimite disk la gen yon estati patikilye, yo nan limit la. Anplis, nan definisyon yon disk, nou gen yon chwa pou nou fè : èske nou konsidere tout pwen ki gen distans nan sant la mwens pase oswa egal a reyon an oswa nou konsidere tout pwen ki gen distans nan sant la se estrikman mwens pase reyon an ? Nan premye ka a, nou di ke disk la fèmen, nan dezyèm ka a, nou di ke disk la ouvè. Plis jeneralman, nou pral di ke yon sifas fèmen lè li kon tout pwen limit li yo. Nou pral di ke yon sifas ouvè si pou chak nan pwen li yo gen yon disk santre sou pwen sa a ki enkli nan sifas sa a.

Lide sa a sou yon limit trè vizyèl. Topoloji ap chache fòmalize nosyon sa a. Gen plizyè fason pou fè sa. Fason ki pi fasil la se defini yon distans. Nan egzanp nou an, nou tou senpleman itilize distans lan eklidyèn. Pwen limit yo se sa yo ki toupre (ki se, nan tankou yon ti distans jan yo vle) nan pwen nan sifas ak pwen ki pa nan li. Defini yon distans sou yon ansanm ba li yon estrikti espas metrik. Rezònman sa a sifi pou rezoud anpil pwoblèm. Sepandan, lè l sèvi avèk yon distans ale nan nimewo reyèl ak Se poutèt sa entwodwi yon kontrent ki te dwe simonte. Pou sa, yo te mennen nou defini konsèp nan pwoksimite nan yon fason pi abstrè, san yo pa fè apèl kont nan yon agiman nimerik, li se konsèp nan vwazinaj. Pou rezon teknik, li ekivalan ak pi senp pou defini dirèkteman ouvè yo anvan vwazinaj yo, kidonk sa a se fason nou anjeneral defini yon topoloji : pa deside ki pati ouvè.

Nosyon de limit se pa sèlman estatik, men tou dinamik. Topoloji fè li posib yo konprann limit yo nan fonksyon oswa swit. Ann gade swit envès nonm antye ki kòmanse nan 1 : 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1 / n, ... A limit, swit sa a ap tandre vè 0. Sa a koresponn plis oswa mwens lefèt ke 0 se yon pwen limit nan ansanm lan nan 1 / n.

Li enpòtan pou remake ke pifò nosyon topoloji, an patikilye kontinyite, se konsekans nosyon de limit. Sa a se patikilyèman ka a ak nosyon de derive ki se kòm limit la nan to akwasman an, nan tanjant la ki se limit la nan kòd yo.

Topoloji se yon teyori inifikatris : li eksplike yon gwo kantite fenomèn ak kèk aksyòm inisyal.

Branch topoloji[edite | modifye sous]

  • Topoloji jeneral bay yon vokabilè ak yon kad jeneral - yon definisyon aksyomatik avèk ansanm - pou fè fas ak nosyon de limit, kontinyite, ak vwazinaj.
  • Lide topoloji aljebrik la konsiste nan asosye envaryan ak espas diferan konsa tankou pou kapab klase yo. Premye envaryan yo te dekouvri yo te nimerik. Kounye a envaryan sa yo se estrikti aljèbrik, gwoup, zanno, pi souvan. Korespondans ki genyen ant espas ak objè yo se fonktè ak teyori kategori pafwa senplifye konpreyansyon sa yopa egzanp, gwoup fondamantal la ak omoloji sengilyè a.
  • Topoloji diferansyèl etidye pwopriyete topolojik nan varyete diferansyèl ak plonjeman yo ak imèsyon yo nan espas eklidyen.
  • Topoloji jewometrik se etid la nan varyete ak aplikasyon ki genyen ant yo, an patikilye plonjeman yo nan yon varyete nan yon lòt. Yon branch patikilyè aktif se topoloji a avèk ba dimansyon ki konsène varyete dimansyon mwens pase oswa egal a kat (4), epi ki gen ladan teyori a ne .
  • Depi ane 1950 yo ak enfliyans nan seminè a jeyometri aljèbrik nan Bois Marie pa Alexandre Grothendieck, topoloji se kounye a defini pi lajman kòm etid la nan topo.

Gade tou[edite | modifye sous]

Bibliyografi[edite | modifye sous]

Referans[edite | modifye sous]

  1. (angle) en Gregory H. Moore (2008). « The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology ». Historia Mathematica 35 (3): 220-241. doi:10.1016/j.hm.2008.01.001. 

Lyen deyò[edite | modifye sous]