Itilizatè:DjeliJunayid/Ansanm jenerasyon yon gwoup
Nan aljèb abstrè, yon ansanm jenerasyon se yon sou-ansanm di gwoup la tankou chak eleman nan gwoup la kapab se eksprime kòm yon konbinasyon (anba operasyon gwoup la) eleman yo fini nan sou-ansanm ak envès yo.
Sa a vle di, si S se yon sou-ansanm nan yon gwoup G, epi ⟨ S ⟩, sou-gwoup ki te pwodwi pa S, se sou-gwoup pi piti nan G ki genyen chak eleman nan S, ki egal a entèseksyon an sou tout sougwoup ki genyen eleman yo nan. S ; egalman, ⟨ S ⟩ se sougwoup tout eleman G ki ka[ab eksprime kòm pwodwi fini eleman nan S ak envès yo. (Remake byen ke envès yo nesesè sèlman si gwoup la se enfini; nan yon gwoup fini, envès la nan yon eleman ka eksprime kòm yon pouvwa nan eleman sa a. )
Si G = ⟨ S ⟩, epi nou di ke S jenere G, ak eleman yo nan S yo rele jeneratè oswa gwoup jeneratè . Si S se ansanm vid la, epi ⟨ S ⟩ se gwoup trivial { e }, paske nou konsidere pwodwi vid la kòm idantite a.
Lè gen sèlman yon sèl eleman x nan S, ⟨ S ⟩ anjeneral ekri kòm ⟨ x ⟩ . Nan ka sa a, ⟨ x ⟩ se sougwoup siklik pouvwa x, yon gwoup siklik, epi nou di gwoup sa a se pwodwi pa x . Ekivalan a di yon eleman x jenere yon gwoup se di ke ⟨ x ⟩ egal tout gwoup G . Pou gwoup fini, li ekivalan tou a di ke x gen lòd | G |.
Yon gwoup ka bezwen yon kantite enfini jenerate yo. Pa egzanp, gwoup aditif nonm rasyonèl Q yo pa finiman pwodwi. Li se pwodwi pa envès yo nan tout antye yo, men nenpòt ki kantite fini nan jeneratè sa yo ka se retire nan gwoup la génération san li sispann yo se yon seri génération. Nan yon ka tankou sa a, tout eleman nan yon seri génération yo se kanmenm "eleman ki pa jenere", osi byen ke tout eleman yo nan gwoup antye a. − gade sougwoup #Frattini anba a.
Si G se yon gwoup topolojik epi, yon sou-ansanm S nan G yo rele yon seri jeneratè topolojik si ⟨ S ⟩ dans nan G, sa vle di fèmti ⟨ S ⟩ se tout gwoup G .