Aller au contenu

Distans soti nan yon pwen ak yon plan

Depi Wikipedya, ansiklopedi lib
Distans ki soti nan pwen A ak plan P se AH. Distans sa a mwens pase AM ak AM'

Nan espas eklidyen, distans ant yon pwen ak yon plan se distans ki pi kout ki separe pwen sa a ak yon pwen sou plan an. Teyorèm Pitagò a pèmèt nou deklare distans ki genyen ant pwen A ak plan an (P) koresponn ak distans ki separe A ak pwojeksyon òtogonal li H sou plan an (P).

Si yo bay espas la yon ankadreman referans ortonormal, yo ka defini pwen yo lè l sèvi avèk kowòdone yo yo rele kowòdone katezyen.

Swa nan espas:

  • Pwen A ak kowòdone
  • Nenpòt pwen M nan plan P la
  • Pwojeksyon ortogonal H nan A sou P, te note
  • Plan P ekwasyon katezyen an: ax + by + cz + d = 0
  • yon vektè nòmal nan plan P la

Lè sa a, distans soti nan pwen A rive nan plan P ki endike se:

pakonsekan,

Demonstrasyon

Premyèman, nou konnen vektè ak yo kolineyè, nou ka ekri:

ki se,

Dezyèmman, Se poutèt sa:
Sa vle di rezoud sistèm sa a:

Ranplase kowòdone H yo nan 4yèm ekwasyon pa valè yo jwenn nan premye 3 yo pèmèt nou ekri:

.

oswa:

.

P se yon plan, a, b, c pa tout zewo: nou genyen

Finalman, distans ki soti nan A rive nan P se pa lòt ke longè vektè , kidonk:

kite
epi finalman

Sa a konplete prèv la.